Question

12、设函数f（x）=e^x-a(x+1).

(1) 若a>0时，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
(2) 设g（x）=f（x）+a/(e^x)，且A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率很大于常熟m，求m的取值范围；
(3) 求证1^n+3^n+······+（2n-1）^<[√e/（e-1）]*(2n)^n (n∈N*).

Answer 1

(1)
f'(x)=e^x-a
令f'(x)>0
x>lna
f'(x)<0
x<lna
∴f(x)减区间是(-∞,lna)增区间是(lna，+∞)
∴f(x)最小值=f(lna)=a-a(lna +1)=-alna≥0

a>0
∴lna≥0
a≥e
(2)
g(x)=e^x-a(x+1)+a/e^x
g'(x)=e^x-a-a/e^x
=e^x-a/e^x-a
∵a≤-1

∴-a/e^x>0
均值不等式
e^x-a/e^x≥2√(-a)
当且仅当e^x=-a/e^x取等
e^x-a/e^x-a≥2√(-a)-a
即AB的斜率≥2√(-a)-a
a≤-1
-a≥1
2√(-a)-a≥2+1=3
∴m<3
(3)
我再想想

追问

谢谢啊

追答

1^n+3^n+······+（2n-1）^<[√e/（e-1）]*(2n)^n (n∈N*).

等价于

(1/2n)^n+(3/2n)^n+....+[(2n-1)/(2n)]^n<√e/（e-1）

利用e^x>=x+1

贴吧里1位大神的回答