Question

如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC上一点,且BD=1/3AB,AE=1/3AC,求证∠ADE=∠EBC

如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC上一点,且BD=1/3AB,AE=1/3AC,求证∠ADE=∠EBC

Answer 1

神题：∵△ABC为等腰直角三角形
∴AB=AC，∠A=90°，∠ABC=∠ACB=45°
∵AE=1/3AC,DB=1/3AB,
∴AD=AC,DB=AE
∴AD=2/3AB,AE=1/3AC,
∴AD=2AE，
∴∠ADE=30°,∠AED=60°
若∠ADE=∠EBC
则∠DBE=45°-30°=15°
∴∠AEB=75°
又∵∠AED=60°
∴∠DEB=15°
∴∠DBE=∠DEB
∴DB=DE=AE
∵DE为斜边不能等于AE
∴此题目为神题
证明： 设AB＝AC＝3X，过点E作EF⊥BC于F
∵∠BAC＝90,AB＝AC＝3X
∴∠ABC＝∠C＝45,BC＝3√2X
∵AE＝1/3AC
∴AE＝X
∴CE＝AC-AE＝2X
∵EF⊥BC
∴CF＝EF＝CE/√2＝√2X
∴BF＝BC-CF＝2√2X
∴EF/BF＝1/2
∵BD＝1/3AB
∴BD＝X
∴AD＝AB-BD＝2X
∴AE/AD＝1/2
∴EF/BF＝AE/AD
∵∠A＝∠BFE＝90
∴△ADE∽△FBE
∴∠ADE＝∠EBC