Question

已知x+y=4，x、y为正实数，求(√x^2+1)+(√y^2+4)的最小值

Answer 1

解：
方法1
∵x+y=4.
∴y=4-x.
∴式子z=√(x²+1)+ √(y²+4)可化为：
Z=√[(x-0) ²+(0+1) ²]+√[(x-4) ²+(0-2) ²]. （0＜x＜4）
易知，这个式子的几何意义是：
X正半轴上的一个动点P(x,0)到两个定点M(0,-1),N(4,2)距离的和，即
Z=|PM|+|PN|.
由“两点之间，直线段最短”可知，
连接两定点M,N。与x正半轴于点P(4/3,0),此时Z的最小值=|MN|=5.

方法2
作矩形ABCD，使AB＝4、BC＝1，延长CB至E，使BE＝2。
在AB上取一点F，使AF＝x、BF＝y。
由勾股定理，有：
DF＝√（AF²＋AD²）＝√（x²＋1）
EF＝√（BF²＋BE²）＝√（y²＋4）。
显然有：DF＋EF≧DE＝√（CD²＋CE²）＝√（4²＋3²）＝5。
∴√（x²＋1）＋√（y²＋4）的最小值是5。
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祝你学习进步，更上一层楼！
不明白请及时追问，满意敬请采纳，O(∩_∩)O谢谢~~

追问

这两种方法都是解析几何吗？

追答

第一种是的

第二种不是（没有借助坐标系）

Answer 2

根据柯西不等式
√(a^2+b^2) + √(c^2+d^2) >= √[(a+c)^2+(b+d)^2]
当且仅当a/c=b/d时取等号。

所以
(√x^2+1)+(√y^2+4)>=√[(x+y)^2+(1+2)^2]=√(4^2+3^2)=5
当x/y=1/2时，即x=4/3，y=8/3时取等号 。

最小值是5

追问

什么是柯西不等式

追答

百度一下柯西不等式，这是高中知识稍微拔高一点的知识，数学竞赛中却是最低要求了
做起来很快的。

追问

可我才是准高一啊~~赶脚很深奥的样子！！

追答

记公式不难的，又不让你证明。

就像那几个基本不等式，老师还不是让你们记熟练啊。博闻强记，才能做题快

追问

谢谢你的回答~~方法很快很好但楼下的方法很详细~~我采纳哪个？？

追答

还是我服务比较周到吧，他到现在还没回复你啊

追问

谢谢！采纳你吧！能交个朋友吗，以后可以请教~！q624052770

追答

好啊 我加你吧

Answer 3

解：如图，取BD=4,作AB⊥BD,CD⊥BD,AB=1,CD=2
作点A的对称点A',连接A'C,构造Rt△A'CE.
∴A'C=√(A'E+CE)=√((3^2)+(4^2))=5
∴√((x^2)+1)+√((y^2)+4)的最小值=5