Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=t/x-lnx,(1)如果函数g(x)<=f(x)恒成立，求t的取值范围；

（2）设函数F(X)=f(x)-1/e^x+2/ex,试问函数F(X)是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)g(x)<=f(x)，即t<=2xlnx恒成立,
设h(x)=2xlnx,x>0,
则h'(x)=2(lnx+1),
0<x<1/e时h'(x)<0，h(x)是减函数，其他，h(x)是增函数，
∴h(x)的最小值=h(1/e)=-2/e,
∴t<=-2/e,为所求.
(2)F(X)=lnx-1/e^x+(2/e)x,x>0,
F'(x)=1/x+1/e^x+2/e>0,
∴F(x)是增函数，
F(1)=1/e>0,F(1/2)=-ln2-1/√e+1/e<0,
∴F(x)恰有一个零点.