Question

已知F1,F2是双曲线x²/a²-y²/b²=1的左,右焦点,过F1且垂直于x轴的直线

与双曲线的左支交于A,B两点，若△ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为？

Answer 1

AB:x=-c,
代入x^2/a^2-y^2/b^2=1得
y^2=b^4/a^2,
∴y=土b^2/a,
△ABF2是正三角形,
∴AF1/F1F2=b^2/(2ac)=tan30°=1/√3，b^2=c^2-a^2,e=c/a,
∴e^2-1=2e/√3，
整理得e^2-(2/√3)e-1=0,e>1,
解得e=√3，为所求。