Question

三道高中数学导数及数列问题

三道题都需解答
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Answer 1

21.(①)
(1)f(x)=x³+n²x-1。
注意到f'(x)=3x²+n²＞0，故f(x)在R上↑。
又f(0)=-1＜0，f(1)=n²＞0.
故f(x)在(0,1)上有唯一零点an。
∴an∈(0,1)。
(2)

f(an)=0<=>an³+n²an-1=0.
<=>an(an²+n²)=1
<=>an=1/(an²+n²)
又an²+n²＜1+n²＜n+n²=n(n+1)。
故an＞1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)。
则a1+a2+...+an＞∑(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1).左边成立。
而an²+n²＞n²，故an＜1/n²。
则a1+a2+...+an＜∑1/n²。
由定积分几何意义，∑1/n²＜1+(2，n)∫(1/n²)dn=1+(-1/n+1/2)=3/2-1/n＜3/2.

21.(②)
(1)f(x)=√(1+x²)，显然f(x)在R-上递减，R+上递增。
其图像是双曲线y²-x²=1的上半部分，且f(x)是偶函数。

L≥|f(x1)-(x2)|/(|x1-x2|)对任意x1、x2∈R恒成立。
由对称性，则L大于等于该图像上任意一点切线的斜率。
而该双曲线渐近线为y=±x，最大斜率为1，故L≥1.
(2)
①
注意到a(n+1)=f(an)，a(n+2)=f(a(n+1))。

令x1=an，x2=a(n+1)。
则|f(a(n+1))-f(an)|=|a(n+2)-a(n+1)|≤L|a(n+1)-an|。
记bn=|a(n+1)-an|，则b(n+1)≤Lbn。
于是bn≤Lb(n-1)≤L²b(n-2)≤...≤L^(n-1)×b1.

则∑bn≤∑L^(n-1)×b1=b1(1-L^n)/(1-L)≤b1/(1-L)。
∴①成立。
②这个暂时没想出来..
20.
(1)f(0)=0=c。
f(-1/2+x)=f(-1/2-x)<=>x=-1/2是f(x)的对称轴<=>-b/2a=-1/2<=>a=b。
又f(x)=ax²+ax≥x恒成立，则ax²+(a-1)x≥0恒成立。
故△≤0，则(a-1)²≤0。得a=1.
于是f(x)=x²+x。
(2)g(x)=x²+x-|λx-1|。
①x≥1/λ时。
g(x)=x²+(1-λ)x+1.
λ≥2时，g(x)在[1/λ，(λ-1)/2)递减，((λ-1)/2，+∞)递增。
0＜λ＜2时，g(x)在(1/λ，+∞)递增。
②x＜1/λ时。
g(x)=x²+(λ+1)x-1.
此时，g(x)在(-∞，-(λ+1)/2)递减，(-(λ+1)/2，1/λ)递增。
(3)
①0＜λ≤1时。
由(2)知，x∈(0,1)时，g(x)在(0,1)递增，g(x)=x²+(λ+1)x-1。
且g(0)=-1＜0，g(1)=λ+1＞0.故g(x)在(0,1)有唯一零点。
②λ＞1时。
(i)x∈(0,1/λ)时，g(x)=x²+(λ+1)x-1，g(x)在(0,1/λ)递增。
g(0)=-1＜0，g(1/λ)=1/λ²+1/λ＞0.故g(x)在(0,1/λ)有唯一零点。
(ii)x∈(1/λ，1)时，g(x)=x²+(1-λ)x+1。
{1}1＜λ＜2时，g(x)在(1/λ，1)递增。
又g(1/λ)＞0，故此时g(x)在(1/λ，1)无零点。
{2}3＞λ≥2时，g(x)在[1/λ，(λ-1)/2)递减，((λ-1)/2，1)递增。
而g((λ-1)/2)=1-((λ-1)/2)²＞0，故此时g(x)无零点。
{3}λ≥3时，g(x)在(1/λ，1)递减，而g(1)=3-λ≤0.
故此时，g(x)在(1/λ，1)有唯一零点。
综上，0＜λ＜3时，g(x)在(0，1)有一零点；λ≥3时，g(x)在(0,1)有两零点。

Answer 2

解：（1）∵f（0）=-1＜0，f（1）=n2＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，
∴f（x）在（0，1）内有零点，
∵f′（x）=3x2+n2＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，
而an是函数f（x）=x3+n2x-1（n∈N+）的零点，
∴0＜an＜1；