Question

一道简单的矩阵练习题，求解

矩阵A[ 1 , 0] M矩阵 [a ,b] ,A与M矩阵可互换，确定a b c d之间的关系，并写出矩阵M
[ 2，-1] [ c,d]

另外想问下一个矩阵 2*3 ，它会有矩阵倒数吗

谢谢各位了

Answer 1

直接代入AM=MA，
( a b ) = ( a+2b c+2d )
( 2a-c 2b-d ) ( -b -d )，
于是b=0，c+2d=2a-c=0，d=-a，c=2a，所以
( 1 0 )
M=a ( 2 -1) =aA。

不是方阵的矩阵也可以有“逆”。一个比较典型的“逆”是Moore-Penrose逆（Moore-Penrose Pseudoinverse，之所以有Pseudo，我觉得是因为它和方阵的逆还不完全兼容，在方阵本身不可逆的情况下，它也是存在的）。矩阵A如果是m*n的，那么它的Moore-Penrose逆B是n*m的，同时满足：
(1)ABA=A；
(2)BAB=B；
(3)(AB)^* = AB； //其中A^*指的是A的共轭转置，
(4)(BA)^* = BA。 //对于实矩阵来讲共轭转置就是转置

容易看出，如果A是方阵，那么A的Moore-Penrose逆是唯一的，就是它的逆。即使A不是方阵，它的Moore-Penrose逆也是唯一的。另外如果取两次Moore-Penrose逆那么会变回原来的矩阵，也就是，A的逆的逆是A。

关于更多的内容，可以到Wiki上搜一下Moore-Penrose Pseudoinverse，我本想把链接放到参考资料那栏的，但是百度不许。有些代数教材（比如丘维声的《高等代数》，我看过第一版，是涉及代数周边的东西比较多一点的）中也有些内容（或者习题）可以参考。

Answer 2

倒数？逆运算