Question

高中解析几何 设而不求

Answer 1

(1)易得E:x²/2+y²/4=1。

(2)A(0,2)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)。
显然，BC斜率不为0，故设BC:x=ky+m，易知A点不在BC上。
联立BC、E，得(2k²+1)y²+4kmy+2m²-4=0.
由韦达定理，得y1+y2=-4km/(2k²+1)，y1y2=2(m²-2)/(2k²+1)。........①
又k1=(y1-2)/x1，k2=(y2-2)/x2。xi=kyi+m，i=1、2.
故k1k2=(y1y2-2(y1+y2)+4)/(k²y1y2+km(y1+y2)+m²)=1 ......②
联立①、②，得m²+8km+12k²=0 ...........③
即(m/k)²+8m/k+12=0，得m/k=-2或-6，故m=-2k或m=-6k。
分别代入BC：
若m=-2k，则BC：x=k(y-2)，其过定点(0,2)，与A点不在BC上矛盾。
若m=-6k，则BC：x=k(y-6)，其过定点(0,6)，经检验，满足。
综上，BC过定点(0,6)。
(3)由(2)知BC:x=k(y-6)，与E联立，得：
(2k²+1)y²-24k²y+72k²-4=0。
△=16(1-16k²)＞0，得k∈(-1/4,1/4)。
|y1-y2|=√△/a=4(√(1-16k²))/(2k²+1)。
|BC|=√(k²+1)|y1-y2| (这里k不是斜率，相当于斜率的倒数，故为k²+1而不是1/k²+1)
设d为A到BC的距离，则d=|4k|/√(k²+1)。
S△ABC=1/2×d×|BC|=8(|k|√(1-16k²))/(2k²+1)
S²=64k²(1-16k²)/(2k²+1)²
=(32/9)18k²(1-16k²)/(2k²+1)²
≤(32/9)((18k²+1-16k²)/2)²/(2k²+1)²
=8/9 (当且仅当18k²=1-16k²，即k²=1/34时取等号)
则Smax=2√2/3.