Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD,AB=根号2AD,E是线段AB上的点，F是线段AB上的点，且PE:ED=BF:FA=a(a大于0)
1.判断EF与平面PBC的关系，证明
2.当a为何值时，DF垂直PAC，证明

Answer 1

1.作EG‖AD,G在PA上,连接FG.
EG‖AD则PE:ED=PG:GA;
于是PG:GA=BF:FA=a.
→FG平行于PB;
则FG平行于平面PBC
EG‖AD,AD‖BC,则EG‖BC;则EG‖平面PBC;
EG与FG相交,故平面EFG‖平面PBC;
因此EF平行于平面PBC.

2.
PA垂直平面ABCD,则若DF垂直AC,则DF垂直平面PAC.
设DF与AC交于点H;
由AB=根号2AD可知,AC=根号3AD;
易知直角三角形ADH与直角三角形ACD相似,则可知,AD=根号3AH;
→AH=AD/根号3;
AF =(根号3/根号2)*AH = AD/根号2;
→AB= (1+a)AF =(1+a)AD/根号2;
而AB=根号2AD,
则 (1+a)AD/根号2 = 根号2*AD
→a=1.