Question

若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x，都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=1,则f(2009)=

Answer 1

令x=-1，f(2)≤f(-1)+3，f(1)≥f(-1)+2。得f（-1）≤-1 令x=0，f(3)≤f(0)+3，f(2)≥f(0)+2。 令x=1，f(4)≤f(1)+3=4，f(3)≥f(1)+2=3。 令x=2，f(4)≥f(2)+2。 f(0)+4≤f(2)+2≤f(4)≤4，得f(0)≤0。 3≤f(3)≤f(0)+3，得f(0)≥0。 得f(0)＝0 所以4≤f(2)+2≤4，得f(2)+2=4，f(2)=2。 所以2≤f(-1)+3，f(-1)≥-1。 得f(-1)=-1 因为f(x+6）=f(x)+6 f(2009）=f(-1+6×335)=f(-1)+6×335=-1+2010=2009

Answer 2

(1)两边一夹 f(2009)<=f(2006)+3<=f(2003)+6<=...<=f(2)+2007 f(2009)>=f(2007)+2>=F(2005)+2>=.....>=f(1)+2008 （2）特殊值 不妨设f（x）是一个一次函数，且f（x）=x 那么f(1)=1 f(x+3)=x+3=f(x)+3 f(x+2)=x+2=f(x)+2 满足对任意实数x，都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2, 所以f（2009）=2009