Question

如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，

如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC，设点F为棱AD的中点．求直线BF与平面ACD所成角的余弦值．

备注：用空间向量解题

Answer 1

这道题感觉用几何法会更加快...
易得∠ABD=90°,∠BDC=60°,设AB=BD=4,则CD=2,BC=2√3,AD=4√2
∵面ABD⊥面BCD,AB⊥BD
∴AB⊥面BCD
∴CD⊥AB,BC⊥AB
∵AC²+CD²=AB²+BC²+CD²=32=AD²
∴CD⊥AC,∴CD⊥面ABC
作BE⊥AC於E,那麼CD⊥BE
∴BE⊥面ACD,即BF在面ACD上的射影是EF
连接EF,∠BFE是所求的角
BF=2√2,BE=AB*BC/AC=4√3/√7
由三馀弦定理得cosBFA=cosBFE*cosEFA=cos90°=0
而∠BFE≠90°,∴∠EFA=90°,即EF⊥AF
EF=AFtanCAD=AF*CD/AC=2√2*2/2√7=2√2/√7
cosBFE=(BF²+EF²-BE²)/2BFEF=√7/7

不过既然你要向量法我就写给你吧
角度边长和几何法一样求,并且有AB⊥面BCD,CD⊥面ABC
作CE∥AB,以CB,CD,CE为坐标轴建立直角坐标系,则
A(2√3,0,4),B(2√3,0,0),D(0,2,0),F(√3,1,2)
BF→=(-√3,1,2)
CD→=(0,2,0),CA→=(2√3,0,4)
设面ACD法向量n→=(x,y,-√3)
则2y=0,y=0.2√3x-4√3=0,x=2
∴n→=(2,0,-√3)
cos<n→,BF→>=(-2√3+0-2√3)/√[(4+3)(3+1+4)]=-2√3/√14
设所求的角为θ,那麼sinθ=2√3/√14,cosθ=√(1-sin²θ)=√7/7