如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、...
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角B-EF-A的余弦．
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 （1）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90° 即AB⊥BD（2分） 在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．（4分） 又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B ∴DC⊥平面ABC．（5分） （2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点 ∴EF ∥ CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC， ∴EF⊥平面ABC，垂足为点E ∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角（7分） 在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30° 设CD=a则 BD=2a，BC=
 ∴在Rt△FEB中， sin∠FBE=
即BF与平面ABC所成角的正弦值为
解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD=a，则BD=AB=2a， BC=
可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a）， C(
∴
设BF与平面ABC所成的角为θ 由（1）知DC⊥平面ABC ∴ cos(
∴ sinθ=
（3）由（2）知FE⊥平面ABC， 又∵BE?平面ABC，AE?平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE， ∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角（12分） 在△AEB中， AE=BE=
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