Question

设随机变量X的概率密度为f(x)=1/2e^(-|x|),-∞<x< +∞,求:x,|x|是否相互

独立

Answer 1

E(x)=∫(-∞,+∞)f(x)xdx=∫(0,+∞)x*e^(-x)dx=1
E(X²)=∫(-∞,+∞)f(x)x²dx=∫(-∞,+∞)1/2x²e^(-x²)dx
设Y~N(0,1)
E(Y²)=D(Y)+E(Y²)=1
E(Y²)=∫(-∞,+∞)1/(√2π)y²e^(-y²/2)dy
换元x=y/√2
E(Y²)=∫(-∞,+∞)1/(√π)2x²e^(-x²)dx=1
∫(-∞,+∞)1/2x²e^(-x²)dx=√π=E(X²)
D(X)=E(X²)-E²(X)=√π-1

对概率密度函数积分就可以得到分布函数，
当x<0时，
f(x)=1/2*e^x
故分布函数
F(x)
=∫(上限x，下限-∞) 1/2 *e^x dx
=1/2 *e^x [代入上限x，下限-∞]
=1/2 *e^x

当x>=0时，
f(x)=1/2*e^(-x)
故分布函数
F(x)
=F(0)+ ∫(上限x，下限0) 1/2 *e^(-x) dx
=F(0) - 1/2 *e^(-x) [代入上限x，下限0]
=F(0) - 1/2 *e^(-x) +1/2
而F(0)=1/2
故F(x)=1 -1/2 *e^(-x)

所以
F(x)= 1 -1/2 *e^(-x) x>=0