Question

如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线 的图象过C点

如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线 的图象过C点． （1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

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Answer 1

解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°。 ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°， ∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD。 ∵在△AOB与△CDA中， ， ∴△AOB≌△CDA（ASA）。 ∴CD=OA=1，AD=OB=2。 ∴OD=OA+AD=3。 ∴C（3，1）。 ∵点C（3，1）在抛物线 上， ∴ ，解得： 。 ∴抛物线的解析式为： 。 （2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB= 。 ∴S △ ABC = AB 2 = 。 设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1）， ∴ ，解得 。 ∴直线BC的解析式为 。 同理求得直线AC的解析式为： 。 如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F， 则 。 在△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x． 由题意得：S △ CEF = S △ ABC ，即：  EF?h= S △ ABC 。 ∴ ，整理得：（3﹣x） 2 =3。 解得x=3﹣ 或x=3+ （不合题意，舍去）。 ∴当直线l解析式为x=3﹣ 时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分。 （3）存在。如答图2所示， 过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1。 过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形。 过点P作PH⊥x轴于点H， 则易证△PAH≌△BCG。 ∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2。 ∴P（﹣2，1）。 ∵抛物线解析式为： ，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上。 ∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．。

（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。 （2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S △ CEF = S △ ABC ，列出方程求出直线l的解析式； （3）首先作出?PACB，然后证明点P在抛物线上即可。