Question

已知函数f（x）=x|x-a|（x∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）求实数a的取值范围，使函数g（x

已知函数f（x）=x|x-a|（x∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）求实数a的取值范围，使函数g（x）=f（x）+2x+1在R上恒为增函数．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R， 又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数．…（3分） 当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a）， ∴f（x）是非奇非偶函数．…（6分） ∴当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．…（7分） （2） g(x)=x|x-a|+2x+1= x 2 +(2-a)x+1，x≥a - x 2 +(2+a)x+1，x＜a 在R上恒为增函数，…（8分） ∴y=x 2 +（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函数，且y=-x 2 +（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函数，…（10分） ∴ - 2-a 2 ≤a 2+a 2 ≥a ，…（14分） ∴-2≤a≤2．…（15分）