Question

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=254？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2-10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO=∠ABE．
∴Rt△CAO∽Rt△ABE．
∴

CA

AB

=

AO

BE

．
∴

2AB

AB

=

t

4

．
∴t=8．

（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE=

1

2

t，AE=2．
当0＜t＜8时，S=

1

2

CD?BD=

1

2

（2+t）（4-

t

2

）=

25

4

．
∴t₁=t₂=3．
当t＞8时，S=

1

2

CD?BD=

1

2

（2+t）（

t

2

-4）=

25

4

．
∴t₁=3+5

2

，t₂=3-5

2

（为负数，舍去）．
当t=3或3+5

2

时，S=

25

4

．

（3）过M作MN⊥x轴于N，则MN=

1

2

CO=2．
当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4．
抛物线y=ax²-10ax的顶点坐标为（5，-25a）．
它的顶点在直线x=5上移动．
直线x=5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）．
∴1＜-25a＜2．
∴-

2

25

＜a＜-

1

25

．