Question

（2012?怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接C

（2012?怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=23，求证：△ACD∽△OCB．

Answer 1

（1）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．

（2）证明：过O作OE⊥AB于点E，垂足为E，
∵OE过O，
由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE=

1

2

OB=2，
由勾股定理得：BE=2

3

=AE，
即AB=2AE=4

3

，
∵AC=2

3

，
∴BC=2

3

，
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB，
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2

3

，
∴

AC

OC

=

CD

BC

=

3

，
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．