Question

已知：如图所示，AB为⊙o的弦，C、D为AB上的两点，且AC=BD，求证：∠OCD=∠ODC（请用两种不同的方法证明）

Answer 1

证明
1.连接OA，OB
∵OA=OB=半径
∴∠OAC=∠OBD
又∵AC=BD
∴⊿OAC≌⊿OBD（SAS）
∴OC=OD
2.作OE⊥AB，交AB 于E
根据垂直于弦的直径（或过圆心的直线）必平分弦
∴AE=BE
∵AC=BD
CE=AE-AC，DE=BE -BD 【若是这几点排列顺序为A,D，E，C，B的话，就倒过来减】
∴CE=DE【也可用∵OE是中长线，∴⊿OCD是等腰三角形或OC²=CE²+OE²，OD²=...证明】
又∵OE=OE，∠CEO=∠DEO=90º
⊿OEC≌⊿OED（SAS）
∴OC=OD

Answer 2

1.连接OA，OB
∵OA=OB=半径
∴∠OAC=∠OBD
又∵AC=BD
∴⊿OAC≌⊿OBD（SAS）
∴OC=OD
2.作OE⊥AB，交AB 于E
∴AE=BE
∵AC=BD
CE=AE-AC，DE=BE -BD 【若是这几点排列顺序为A,D，E，C，B的话，就倒过来减】
∴CE=DE 又∵OE=OE，∠CEO=∠DEO=90º
⊿OEC≌⊿OED（SAS）
∴OC=OD