Question

如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B。 （1）求证：AD是⊙O的切

如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B。 （1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长。

Answer 1

（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE， 则∠ABE=90°， ∴ ∠EAB+∠E=90°， ∵ ∠E =∠C，∠C=∠BAD， ∴ ∠EAB+∠BAD =90°， ∴ AD是⊙O的切线。 （2）解：由（1）可知∠ABE=90°， ∵ AE=2AO=6，AB=4， ∴ ， ∵ ∠E=∠C=∠BAD， BD⊥AB， ∴ cos∠BAD=cos∠E， ∴ ， 即 ， ∴ 。