什么叫有限集合、可列集和可列有限集。看了以下定义，我还不是很懂，请求解释，谢谢。可以举例说说明吗？
自然数集、有理数集、代数数集都是可列集。实数集、复数集、直线点集、平面点集都是不可列集（或不可数集）。有限集都可以说是自然数的真子集，当然可列，但没有可列有限集这个词。
（1）有限集就是能与{1，2，3，4，??，n}(n为任意自然数)建立双射的集合。简单的来概括就是一个一个的数总能全部数完的集合。比如(1，2，3，4??，100)就是有限集。
（2）不是有限集的集合就是无限集。
（3）可数集就是无限但是能与自然数集建立双射的集合，又称可列集。可数集是最小的无穷集。
（4）不可数集就是无限且又不能与自然数建立双射的集合。
一，有限集与无限集
（1）说通俗点（但不够科学）就是集合中元素的个数。用数字，1，2，??表示。如集合{1，2，3}有三个元素，基数是3。基数(cardinalnumber)也叫势(cardinality)。集合的基数是任何一个具体数字时，就叫做有限集合。
（2）而当一个集合的基数超过自然数的范围，就是说比任何一个自然数都要大时。就是无限集合。
比如全体自然数是第一个无限集合。它的基数叫做阿列夫零，阿列夫(aleph)，是希伯来文字母表的第一个字母。
二，可列与不可列的问题
（1）并不是所有无限集合都和全体自然数，也就是基数为(aleph)零的无限数能构成一一对应。比如，实数。当然全体实数也是无限的，但它却和自然数之间构造不出一一对应关系。所以，在全体实数这个无穷之上，还有更大的无穷。
也就是说，(aleph零)<2^(aleph零)，我们叫，2^(aleph零)=(aleph壹)。甚至这个问题可以接着往下数。所有这些都叫做超限数。全体自然数是可以列举出来的。所以，这种集合我们叫它可列。
（2）全体实数是无法列出来的，甚至用一个无限集也无法把它间接列出来。全体有理数虽然本身无法全部列举，可是我们却可以用全体自然数和它之间建立一个一一映射关系。
比如，把全体有理数，表示成，??q(0)，q(1)，q(2)，??，所以它也可列。这是可以严格证明的，但全体实数无法给出这种证明。所以，它就是不可列的。
扩展资料：
有限集合是由有限个元素组成的集合，也称有穷集合。例如，由北京、天津、上海三个直辖市组成的集合，由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合，叫做单元素集合，至少含有一个元素的集合叫做非空集合，
不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一个，一般用希腊字母Φ(或{})来表示。例如，如果一个集合是以某班的某次数学测验不及格的学生为元素，而事实上全班学生在该次数学测验中成绩都及格，那么这个集合就是一个空集Φ。
在集合论中，约定空集Φ为有限集合，空集是一切集合的子集。
有限集合还有两种定义方式。
（1）一个是说与自然数串的一个线段对等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做无限集合。
（2）另一个定义是：不可与其自身的真子集对等的非空集合，以及空集，都叫做有限集合，不是有限集合的集合叫做无限集合。
如果一个集合与正整数集合之间存在一一对应，则这个集合称为可列集（或可数集）；也就是说，存在一个从该集合到正整数集合的双射（也称可逆映射）。
（1）自然数集、有理数集、代数数集都是可列集。
（2）实数集、复数集、直线点集、平面点集都是不可列集（或不可数集）。
可列集是最小的无限集；它的幂集是不可数集--和实数集存在一一对应（也称同势）。所谓幂集，就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。
证明：有理数集Q是可列集
证：由于区间（−∞,+∞）可以表示为可列个区间（n,n+1](n∈Z)的并，我们只须证明区间（0,1]中的有理数是可列集即可。
由于区间（0,1]中的有理数可惟一地表示为既约分数q/p，其中p∈N+，q∈N+，q≤p，并且p，q互质。我们按下列方式排列这些有理数：
分母p=1的既约分数只有一个：x11=1;
分母p=2的既约分数也只有一个：x21 =1/2；
分母p=3的既约分数有两个：x31=1/3,x32 =2/3；
分母p=4的既约分数也只有两个：x41=1/4，x42=3/4；
一般地，分母p=n的既约分数至多不超过n-1个，可将它们记为xn1，xn2，...，xnk(n)，其中k（n）≤n。
于是区间（0,1]中的有理数全体可以排成
x11，x21，x31，x32，x41，x42，...，xn1，xn2，...，xnk(n)，...。
这就证明了有理数Q是可列集。
可以证明，可列集有下列重要性质：
1、有限个可列集的并是可列集。
2、可列个可列集的并是可列集。
3、任何可列集的的无穷子集是可列集。
4、任何无穷集都包含一个可列的真子集。
5、一个无穷集并上一个可列集还与其自身等势。
6、可列集的幂集与实数集等势。
参考资料：
