Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E。 （1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD= ，求⊙O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由。

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Answer 1

（1）证明：连接DO， ∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线， 又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED， 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90°， 又∵∠B+∠A=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED， ∴EB=EC，即点E是边BC的中点。
（2）解：∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线， ∴BC 2 =BD·BA， ∴（2EC） 2 = BD·BA， 即BA· =36，∴BA= ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 。 （3）△ABC是等腰直角三角形。 理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC， 又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形。