Question

已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，（1）求椭圆C的方程；（2）

已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线 与椭圆C交于A, B两点，若点M（ ， 0），求证 为定值.

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Answer 1

（1） ；（2）参考解析

试题分析：（1）要求椭圆的方程需要找到关于 的两个等式即可.由离心率可以得到一个，又由椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，可以得到一个等式，即可求出椭圆的方程. （2）由线 与椭圆C交于A, B两点，若点M（ ， 0），所以要表示出 的结果，通过直线方程与椭圆方程联立即可得一个二次方程.写出韦达定理，再根据向量 与向量 的数量积所得到的关系式即可得到一个定值. 试题解析：（1）因为 满足 , , .解得 ,则椭圆方程为 .         4分 （2）把直线 代入椭圆的方程得 设 解得 ， = = = = 所以 为定值 .         12分