Question

已知椭圆M： (a＞b＞0)的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4 ，（Ⅰ）求

已知椭圆M： (a＞b＞0)的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4 ，（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．





Answer 1

解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4 ， 所以2a+2c=6+4 ， 又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ， 所以a=3，c=2 ， 所以b=1，椭圆M的方程为 。 （Ⅱ）不妨设BC的方程y=n(x-3)(n＞0)，则AC的方程为 ， 由 得 ， 设 ， 因为 ，所以 ， 同理可得 ， 所以 ， ， 设 ，则 ， 当且仅当 时取等号， 所以△ABC面积的最大值为 。