Question

已知数列{an}(n∈N*)是等比数列，且an＞0，a1=2，a3=8，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：1a1+1a2+

已知数列{an}(n∈N*)是等比数列，且an＞0，a1=2，a3=8，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：1a1+1a2+1a3+…+1an＜1；（3）设bn=2log2an+1，求数列{bn}的前100项和．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q．
则由等比数列的通项公式an＝a1qn?1得a3＝a1q3?1，
∴q²=4
又a_n＞0
∴q=2--------（2分）
∴数列{a_n}的通项公式是an＝2×2n?1＝2n--------（3分）．
（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1?  1 2n )

1? 1 2

=1?

1

2n

--------（6分），
∵n≥1
∴1?

1

2n

＜1--------（7分），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1--------（8分）．
（3）由bn＝2log22n+1=2n+1--------（9分），
又b_n-b_n-1=2n+1-[2（n-1）+1]=2
∴数列{b_n}是以3为首项，2为公差的等差数列--------（11分），
∴数列{b_n}的前100项和是S100＝100×3+

100×99

2

×2＝10200--------（12分）．