Question

讨论a取何值时,下列非齐次线性方程组(1)无解（2）有唯一解（3）有无穷多解？在有无穷多解时，求出其通解

{xi+x2-x3=1
{2x2+3x2+ax3=3
{x1+ax2+3x3=2

Answer 1

原题
x1 + x2 - x3 = 1 x1 = 1 + x3 - x2
2x1 +3x2 + ax3 = 3
x1 + ax2 + 3x3 = 2
消去 x1 得到
x2 + （a + 2 )x3 = 1 x2 = 1 - （a + 2 )x3
( a -1 )x2 + 4x3 = 1
消去 x2 得到
( 6-a -a^2)x3 = 2 - a
( a-2 )(a + 3) x3 = a - 2
当 a = -3 时， 左侧始终为0， 因此无解
a ≠ 2 且 a ≠ -3 时 有 唯一解
a = 2 时， 有 无穷多解
x2 = 1 - （a + 2 )x3
x1 = 1 + x3 - x2 = ( a + 3 )x3
即
x1 = ( a + 3 )x3
x2 = 1 - （a + 2 )x3
x3 = x3

Answer 2