Question

如图，已知一次函数 y=- 3 4 x+3 的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以 每秒1个单

如图，已知一次函数 y=- 3 4 x+3 的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以 每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．（1）求AB的长；（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．

Answer 1

（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4， ∴A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB= 3 2 + 4 2 =5； （2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t， 若△ACD ∽ △ABO相似， ∴ AC AB = AD AO ， 代入得： 5-t 5 = t 4 ， 解得：t= 20 9 ， ∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4- 20 9 = 16 9 ， 再把x= 16 9 带入一次函数解析式，得y= 5 3 ． ∴此时C（ 16 9 ， 5 3 ） 若△ACD ∽ △AOB相似， AD AB = AC AO ， t 5 = 5-t 4 ， ∴t= 25 9 ， AC=5-t= 20 9 ， 再过C点做CE⊥OA于E， 然后△ACE ∽ ABO， AE AO = AC AB ， 即 AE 4 = 20 9 5 ， 解得AE= 16 9 ， ∴OE=AO-AE=4- 16 9 = 20 9 ， 而且又∵ CE OB = AE AO ，即 CE 3 = 16 9 4 ． 解得CE= 4 3 ．所以C（ 20 9 ， 4 3 ） ∴C（ 16 9 ， 5 3 ）或（ 20 9 ， 4 3 ）