Question

如图，抛物线经过 A (4,0), B (1,0), C (0,-2)三点． (1)求出抛物线的解析式；(2) P 是抛物线上一动点，

如图，抛物线经过 A (4,0), B (1,0), C (0,-2)三点． (1)求出抛物线的解析式；(2) P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M ，是否存在 P 点，使得以 A ， P ， M 为顶点的三角形与△ OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D ，使得△ DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标．

Answer 1

（1）  （2）存在！ P 为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14) （3） D (2,1)

试题分析：（1）∵该抛物线过点 C (0,-2)，∴可设该抛物线的解析式为 y = ax 2 + bx -2． 将 A (4,0), B (1,0)，代入，得   解之 ∴此抛物线的解析式为 ． （2）存在！如图，设 P 点的横坐标为 m ，则 P 点的纵坐标为 ， 当1＜ m ＜4时， AM =4- m ， ．又∵∠ COA =∠ PMA =90°, ∴① 当 时，△ PMA ∽△ COA ，即   ． 解之 m 1 ="2," m 2 =4（舍去），   ∴P(2,1)． ② 当 时，△ APM ∽△ CAO ，即 ． 解之  m 1 ="4," m 2 =5（均不合题意，舍去） ∴当1< m <4时， P (2,1)  类似地可求出, 当 m >4时， P (5,-2) 当 m <1时， P (-3,-14) 综上所述，符合条件的点 P 为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14) （3）如图，设 D 点的横坐标为t(0<t<4)，则 D 点的纵坐标为 ． 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E ．由题意，可求得直线 AC 的解析式为: ， E 点的坐标为 ．∴  = 从而，S △ DAC = =- t 2 +4 t=- ( t -2) 2 +4．∴当 t =2时，△ DAC 面积最大．∴ D (2,1) 点评：本题考查抛物线的知识，要求考生根据抛物线的概念和性质来解本题