Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2，e≈2.718285．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2，e≈2.718285．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞1ex?1x成立．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，
当x∈(0，

1

e

)，f/(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f/(x)＞0，f(x)单调递增，
所以0＜t＜

1

e

＜t+1，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min＝f(

1

e

)＝?

1

e

；

1

e

≤t＜t+1，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
综上得f(x)min＝

? 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

（Ⅱ）xlnx≥-x²+ax-2，∴a≤lnx+x+

2

x

设h(X)＝lnx+x+

2

x

(x∈[1，e])，
∴h/(x)＝

(x+2)(x?1)

x2

x∈[1，e]，h′（x）≥0，h（x）单调递增，
∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即a≤h(x)max＝h(e)＝e+

2

e

+1
（Ⅲ）问题等价于证明xlnx＞

x

ex

?1(x∈(0，+∞))成立
由（I）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是?

1

e

，当且仅当x＝

1

e

时取到
设F(x)＝

x

ex 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2015-02-10 已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．对一切x... 4 2015-02-10 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）e... 2 2015-02-09 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，（Ⅰ... 2011-10-19 急！！！高中数学已知f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+... 2015-02-10 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（Ⅰ... 2015-02-09 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1... 2012-09-24 在线等！已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x／e^x-2... 25 2014-11-08 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1... 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式