Question

设x+2y=1,求x^2+y^2的最小值;若x>0,y>0,求x^2+y^2的最大值

Answer 1

解：由x+2y=1可得：y=1/2*(1-x)
将上式代入 x^2+y^2可得：
x^2+1/4*(1-x)^2=5/4*x^2-1/2*x+1/4
上式的最小值在x=1/5处取得
最小值为 5/4*1/25-1/2*1/5+1/4=1/5
若x＞0，y＞0
则1-2y＞0，y＞0
∴0＜y＜0.5
当y无限趋近于0时，值最大，为1
所以最大值趋近于1

Answer 2

x=1-2y
∴x²+y²
=4y²-4y+1+y²
=5y²-4y+1
=5（y-0.4）²+0.2
所以最小值是0.2

若x＞0，y＞0
则1-2y＞0，y＞0
∴0＜y＜0.5
当y无限趋近于0时，值最大，为1
所以最大值无限趋近于1

Answer 3

x+2y=1
x=1-2y
x²+y²
=（1-2y）²+y²
=5（y-2/5）²+1/5≥1/5
即x²+y²最小为1/5，x=1/5，y=2/5
x＞0，所以1-2y＞0，即0＜y＜1/2
对于f(y)=5（y-2/5）²+1/5
f（0）=1
f（1/2）=1/4
即最大值趋近于1