Question

已知函数y=2x?1（1）用函数单调性证明函数y=2x?1在（1，+∞）上是减函数；（2）求函数y=2x?1在区间[2，6]

已知函数y=2x?1（1）用函数单调性证明函数y=2x?1在（1，+∞）上是减函数；（2）求函数y=2x?1在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）证：设x₁、x₂是区间（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1?1

-

2

x2?1

=

2[(x2?1)?(x1?1)]

(x1?1)(x2?1)

=

2(x2?x1)

(x1?1)(x2?1)

；
由1＜x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以函数y=

2

x?1

是区间（1，+∞）上的减函数．
（2）解：由（1）知函数y=

2

x?1

在区间[2，6]上单调递减；
∴当x=2时，y_max=2；当x=6时，y_min=

2

5

．