Question

已知函数f（x）=x2+a|x-1|，a为常数．（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；（2）若函

已知函数f（x）=x2+a|x-1|，a为常数．（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，f(x)＝x2+2|x?1|＝

x2+2x?2，x≥1 x2?2x+2，x＜1

=

(x+1)2?3，x≥1 (x?1)2+1，x＜1

所以当x∈[1，2]时，[f（x）]_max=6，[f（x）]_min=1
当x∈[0，1]时，[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=1
所以f（x）在[0，2]上的最大值为6，最小值为1．            
（2）因为f(x)＝

x2+ax?a，x≥1 x2?ax+a，x＜1

=

(x+ a 2 )2? a2 4 ?a，x≥1 (x? a 2 )2? a2 4 +a，x＜1

而f（x）在[0，+∞）上单调递增
所以当x≥1时，f（x）必单调递增，得?

a

2

≤1即a≥-2
当0≤x＜1时，f（x）亦必单调递增，得

a

2

≤0即a≤0
且1¹+a-a≥1¹-a+a恒成立，
故所求实数a的取值范围为[-2，0]．