Question

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M（1，0），其上任意点P（x，y）（x≠0）处的切线斜率与直线OP的斜率之差

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M（1，0），其上任意点P（x，y）（x≠0）处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a＞0）．（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值．

Answer 1

（Ⅰ） 设曲线L的方程为y=f（x），则由题设可得y′?

y

x

＝ax，这是一阶线性微分方程，
其中P(x)＝?

1

x

，Q(x)＝ax，
代入通解公式得
y＝e∫

1

x

dx(∫axe?∫

1

x

dxdx+C)＝x(ax+C)＝ax2+Cx，
又f（1）=0，所以C=-a．
故曲线L的方程为 y=ax²-ax（x≠0）．
（Ⅱ） L与直线y=ax（a＞0）所围成平面图形如图所示．所以D＝

∫

2 0

[ax?(ax2?ax)]dx=a

∫

2 0

(2x?x2)dx＝

4

3

a＝

8

3

，
故a=2．