Question

（2013?齐河县一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一点，EF⊥AB，EG⊥AC，

（2013?齐河县一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一点，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．（1）求证：EGAD＝CGCD；（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC，
∴

EG

AD

＝

CG

CD

；

（2）答：FD与DG垂直，
证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG为矩形．
∴AF=EG．
∵

EG

AD

＝

CG

CD

，
∴

AF

AD

＝

CG

CD

，
又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF=∠CDG．
∵∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°．
即∠FDG=90°．
∴FD⊥DG．