Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．（1）

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为 3 ，DE=3，求AE．

Answer 1

（1）证明：连接OE，BE， ∵AB是直径． ∴BE⊥AC． ∵D是BC的中点， ∴DC=DB． ∴∠DBE=∠DEB． 又OE=OB， ∴∠OBE=∠OEB． ∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB． 即∠ABD=∠OED． 但∠ABC=90°， ∴∠OED=90°． ∴DE是⊙O的切线． （2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2 3 ，BC=2DE=6， ∴AC=4 3 ． ∴BE=3． ∴AE= 3 ； 法2：∵ AC= A B 2 +B C 2 = (2 3 ) 2 + 6 2 =4 3 （8分） ∴ BE= AB?BC AC = 2 3 ?6 4 3 =3 （10分） ∴ AE= A B 2 -B E 2 = 12-9 = 3 ．（12分）