Question

已知向量 a=(2cosx，cos2x)，b=(sinx， 3 ) ，函数f（x）=a?b，（x∈R），（Ⅰ）将函数y=2si

已知向量 a=(2cosx，cos2x)，b=(sinx， 3 ) ，函数f（x）=a?b，（x∈R），（Ⅰ）将函数y=2sinx的图象做怎样的变换可以得到函数f（x）的图象？（Ⅱ）求函数f（x）区间[0， π 2 ]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若 f( x 0 )= 6 5 ， x 0 ∈[0， π 2 ] ，求cos2x 0 的值．

Answer 1

（Ⅰ） f（x）=2sinxcosx+ 3 cos2x=sin2x+ 3 cos2x=2sin（2x+ π 3 ） 将函数y=2sinx的图象向左平移 π 3 个单位，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2 ，可得到函数f（x）=2sin（2x+ π 3 ）的图象 （或将函数y=2sinx的图象上各点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2 ，再把所得函数图象向左平移 π 6 个单位，猜颤饥可得到函数f（x）=2sin（2x+ π 3 ）的图象）洞碰 （Ⅱ）f（x）=2sin（2x+ π 3 ），x∈[0， π 2 ]∴2x+ π 3 ∈[ π 3 ， 4π 3 ] 所以函数f（x）在区间[0， π 12 ]上单调递增，在区间[ π 12 ， π 2 ]上单调递穗返减， 当2x+ π 3 = π 2 ，即x= π 12 时，函数f（x）有最大值2， 当2x+ π 3 = 4π 3 ，即x= π 2 时，函数f（x）有最小值- 3 ， （Ⅲ） f（x 0 ）= 6 5 ， x 0 ∈[0， π 2 ]，即sin（2x 0 + π 3 )= 3 5 = 3 5 ∵2x 0 + π 3 ∈[ π 3 ， 4π 3 ]，又sin（2x 0 + π 3 )= 3 5 ＜sin π 3 = 3 2 = 3 5 ＜sin π 3 ∴2x 0 + π 3 ∈( π 2 ，π），∴cos（2x 0 + π 3 )=- 4 5 = - 4 5 ， ∴cos2x 0 =cos（2x 0 + π 3 - π 3 ）=cos（2x 0 + π 3 )cos π 3 +sin(2 x 0 + π 3 )sin π 3 cos  π 3 +sin（2x 0 + π 3 ）sin π 3 =- 4 5 × 1 2 + 3 5 × 3 2 = 3 3 -4 10 ．