Question

已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB，AC分别交于E，F， AE =α AB

已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB，AC分别交于E，F， AE =α AB ， AF =β AC ，求 1 α + 1 β 的值．

Answer 1

由题意可得  EF = AF - AE =-α AB +β AC ，由于G是△ABC的重心，设D为边BC的中点， 则 AG = 2 3 AD = 2 3 × 1 2 ( AB + AC )= 1 3 AB + 1 3 AC ，∴ GE = AE - AG =(α- 1 3 ) AB - 1 3 AC ， ∵E，G，F三点共线 即 EF ∥ GE ，而 AB ， AC 不共线，可作为一组基底，则 α 3 =β(α- 1 3 ) ， 解得 1 α + 1 β =3 ．