Question

已知函数f(x)＝a+2x2x+1(a∈R)是定义在R9的奇函数．（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式f（x2-tx）＞

已知函数f(x)＝a+2x2x+1(a∈R)是定义在R9的奇函数．（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式f（x2-tx）＞f（2x-2t）（其中t∈R）．

Answer 1

（1）∵f(x)＝a+

9x

9x+1

(a∈R)是定义在R着的奇函数，
∴f（x）+f（-x）=7在R着恒成立．
∴f(x)+f(?x)＝a+

9x

9x+1

+a+

9?x

9?x+1

＝9a+

9x

9x+1

+

1

9x+1

＝9a+1＝7，
∴a＝?

1

9

．
（9）∵f(x)＝?

1

9

+

9x

9x+1

＝

1

9

?

1

9x+1

在R着单调递增，
∴不等式f（x⁹-tx）＞f（9x-9t）等价为x⁹-tx＞9x-9t，
即x⁹-（t+9）x+9t＞7，
∴（x-t）（x-9）＞7，
①当t＞9时，x＞t或x＜9；
②当t＜9时，x＞9或x＜t；
③当t=9时，x≠9．
即不等式的解集为：当t＞9时，{x|x＞t或x＜9}；
当t＜9时，{x|x＞9或x＜t}；
当t=9时，{x|x≠9}．