已知y＞x＞0，若以x+y，x2+y2，λx为三边能构成一个三角形，则λ的取值范围[1，2+2][1，2+2]
结果为：[1，2+2]
解题过程如下：
根据已知条件得：
x+y+x2+y2＞λx①
x2+y2+λx＞x+y②
x+y+λx＞x2+y2③
∵y＞x＞0
∴x+y＝x2+y2+2xy＞x2+y2
λ＞0
∴x+y+λx＞x2+y2
对于任意y＞x＞0，λ＞0都成立
∴（1）由①得，λ＜1+yx+1+(yx)2
令yx＝t，t＞1，f（t）=1+t+1+t2
f′（t）=1+t1+t2＞0
∴f（t）在（1，+∞）上单调递增
∴f(t)＞f(1)＝2+2
∴λ≤2+2
（2）由②得，λ＞1+yx−1+(yx)2
令yx＝t，t＞1，g（t）=1+t−1+t2
g′（t）=1+t2−t1+t2＞0
∴g（t）在（1，+∞）单调递增
g(t)＝2t1+t+1+t2=21+1t+1+1t2
∴t趋向正无穷时，g（t）趋向1
∴g（t）＜1
∴λ≥1
∴综合（1）（2）得1≤λ≤2+2
即λ的取值范围为[1，2+2]
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求二次函数的方法：
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax2+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k) ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
解题过程如下图：
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax2+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
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表达式
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
|
∵y＞x＞0，∴x+y＝
| x2+y2+2xy |
| x2+y2 |
λ＞0，∴x+y+λx＞
| x2+y2 |
∴（1）由①得，λ＜1+
| y |
| x |
1+(
|
| y |
| x |
| 1+t2 |
f′（t）=1+
| t | ||
|
∴f（t）在（1，+∞）上单调递增；
∴f(t)＞f(1)＝2+
| 2 |
∴λ≤2+
| 2 |
（2）由②得，λ＞1+
| y |
| x |
1+(
|
| y |
| x |
| 1+t2 |
g′（t）=
| ||
|
∴g（t）在（1，+∞）单调递增；
g(t)＝
| 2t | ||
1+t+
|
| 2 | |||
1+
|
