Question

设S为集合{1，2，3，…，50}的子集，它具有下列性质：S中任何两个不同元素之和不被7整除，那么S中的元素

设S为集合{1，2，3，…，50}的子集，它具有下列性质：S中任何两个不同元素之和不被7整除，那么S中的元素最多可能有多少个？

Answer 1

集合{1，2，3，…，50}中所有的数都除以7取余数，可分为7组，即余数分别为0，1，2，3，4，5，6； 其中余数为0时，有{7，14，21，28，35，42，49}共7个； 余数为1时，有{1，8，15，…，50}共8个； 余数为2时，有{2，9，16，…，44}共7个； 余数为3时，有{3，10，17，…，45}共7个； 余数为4时，有{4，11，18，…，46}共7个； 余数为5时，有{5，12，19，…，47}共7个； 余数为6时，有{6，13，20，…，48}共7个； 根据题意知，余数为1和余数为6，余数为2和余数为5，余数为3和余数为4不能同时在S中，余数为0时只能有一个元素在S中； 所以，S最大时，元素应是余数为1时+余数为2时+余数为3（或余数为4）时+余数为0时的一个元素，共23个元素．