Question

已知圆C：(x－3) 2 ＋(y－4) 2 ＝4，直线l 1 过定点A(1，0)．(1)若l 1 与圆相切，求l 1 的方程；(2)若l 1

已知圆C：(x－3) 2 ＋(y－4) 2 ＝4，直线l 1 过定点A(1，0)．(1)若l 1 与圆相切，求l 1 的方程；(2)若l 1 与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l 1 与l 2 ：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6

(1)①若直线l 1 的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意． ②若直线l 1 斜率存在，设直线l 1 为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1 的距离等于半径2，即 ＝2，解得k＝ . ∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0. 由 得N .又直线CM与l 1 垂直， 由 得M . ∴AM·AN＝ · ＝ ＝6为定值． 故AM·AN是定值，且为6. (解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0. 由 得N .再由 得(1＋k 2 )x 2 －(2k 2 ＋8k＋6)x＋k 2 ＋8k＋21＝0. ∴x 1 ＋x 2 ＝ ，得M . 以下同解法1. (解法3)用几何法 连结CA并延长交l 2 于点B，k AC ＝2，kl 2 ＝－ ， ∴CB⊥l 2 .如图所示，△AMC∽△ABN，则 ， 可得AM·AN＝AC·AB＝2 · ＝6，是定值