Question

已知动点P到定点F（1，0）的距离与点P到定直线l：x=4的距离之比为12．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）

已知动点P到定点F（1，0）的距离与点P到定直线l：x=4的距离之比为12．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM?FN=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

（1）设点P（x，y），依题意，有

(x?1)2+y2

|x?4|

=

1

2

，
两边平方，整理得

x2

4

+

y2

3

=1．
所以动点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）F的坐标为（1，0），点E与点F关于原点O对称，所以E（-1，0），
∵M，N是直线l上的两个点，可设M（4，y₁），N（4，y₂），
由

EM

?

FN

=0
∴（5，y₁）?（3，y₂）=0，
15+y₁y₂=0，y₂=-

15

y1

，且y₁与y₂异号，
∴|MN|=|y₁-y₂|=|y₁|+|y₂|=|y₁|+

15

|y1|

≥2

15

，
当且仅当|y₁|=

15

，即M（4，