Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠DAB，过点A作直线l的垂线，垂足为点D．（1）求证：直线l是⊙O的切线

如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠DAB，过点A作直线l的垂线，垂足为点D．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若AD=6，AB=8，求AC的长；（3）若tan∠DAC=34，AC=8，求AB的长．

Answer 1

解答：证明：（1）∵弦AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵过点A作直线l的垂线，垂足为点D，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴直线l是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△DAC∽△CAB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

6

AC

=

AC

8

，
∴AC=4

3

；

（3）解：∵tan∠DAC=

3

4

，∠DAC=∠BAC，
∴tan∠BAC=tan∠DAC=

3

4

在Rt△CAB中，
∵tan∠BAC=

BC

AC

=

BC

8

=

3

4

，
∴BC=6，
AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．