Question

三角形ABC中,角ACB=90,角BAC=60,圆O是三角形ABC的内切圆

Answer 1

连结OD,OE,OF,则OD垂直于AB,OE垂直于BC,OF垂直于AC.
连结OB,则BO是角ABC的角平分线,角OBC=15度.
设BO交DE于H,则BH垂直于DE.
三角形CGE相似于三角形HBE（两角相等）,角G=角OBE=15度.
设内接圆半径r=1,则：
AF=AD=OF×tan30=根号3/3,
AC=AF+CF=根号3/3 + 1,
BC=AC×tan60=（根号3/3 + 1）×根号3 = 3+根号3,
BE = BC-BE = 3+根号3 - 1 = 2+根号3,
tan角OBE = tan角G = OE/BE=1/（2+根号3）=2-根号3
也可以用三角差公式得出：
tan15
= tan（45-30）
=（tan45-tan30）/（1+tan45×tan30）
=（1-根号3/3）/（1+根号3/3）
=（1-根号3/3）^2/（1-1/3）
=（1+1/3-2×根号3/3）/（2/3）
=（3+1-2×根号3）/2
=2-根号3