Question

有关线性代数。。。。

Answer 1

(1) 首先|-E-A|=|E+A|=0，所以-1是A的一个特征值；

类似|2E-A|=0，所以2也是A的一个特征值；
其次 AB+2B=0，则有AB=-2B。根据题设，矩阵B的秩为2，因此其矩阵B的列向量组的秩为2，即其极大线性无关组有两个向量，不妨设B的列向量组的极大线性无关组为eta1，eta2，那么有
A*eta1=-2*eta1，A*eta2=-2*eta2，且eta1与eta2线性无关，因此-2至少是A的2重特征值。但是因为A是4阶方阵并且已经有了-1和2 两个特征值，所以-2恰好是A的2重特征值，故A的所有特征值为-1,2,-2(2重)。

(2) 由(1)的推导可知eta1与eta2恰好是从属于特征值-2的特征向量，且线性无关。而分别从属于特征值-1的特征向量xi1，从属于特征值2的特征向量xi2，与从属于特征值-2的特征向量eta1和eta2线性无关，所以A有4个线性无关的特征向量，必然可以相似对角化。
令矩阵P=(xi1,xi2,eta1,eta2)，则有
P^(-1)*A*P=diag(-1,2,-2,-2)。

(3)由(2)可知A=P*diag(-1,2,-2,-2)*P^(-1)，因此
|A+3E|=|P*diag(-1,2,-2,-2)*P^(-1)+3E|=|P*diag(-1,2,-2,-2)*P^(-1)+3P*E*P^(-1)|
=|P| * |diag(-1,2,-2,-2)+3E| * |P^(-1)|
=|diag(2,5,1,1)|=10

Answer 2

-1 2 0 0特征值

Answer 3

@一二八五七零六九四七！