Question

（2013?珠海一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的

（2013?珠海一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）求证：PD⊥面ABE；（3）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE?面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．
（3）过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF．
由（2）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角．
设AC=a，则AE＝

2

2

a，AD＝

2

3

a，PD＝

7 3

a，
从而AF＝

PA?AD

PD

＝

2

7

a，故 sin∠AFE＝

AE

AF

＝

14

4

．