Question

如图所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于点E，PE⊥AC于点F，

如图所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于点E，PE⊥AC于点F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2．其中结论正确的序号是（　　）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②④D．①②③④

Answer 1

解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵∠ADB=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DC=DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C=30°，故②错误；
连接PD，则S_△BCD=

1

2

BD?PE+

1

2

DC?PF=

1

2

DC?AB，
∴PE+PF=AB，故③正确；
过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，
则∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，
∴∠PBG=∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF=BG，
在△BPE和△BPG中，

∠PBG＝∠DBC ∠G＝∠BEP＝90° PB＝PB

，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG=BE，
∴AF=BE，
在Rt△PBE中，PE²+BE²=BP²，
即PE²+AF²=BP²，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选B．