Question

设函数f(x)＝ax2+bx+c，且f(1)＝?a2，3a＞2c＞2b，求证：（1）a＞0且?3＜ba＜?34；（2）函数f（x）在区间

设函数f(x)＝ax2+bx+c，且f(1)＝?a2，3a＞2c＞2b，求证：（1）a＞0且?3＜ba＜?34；（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则2≤|x1?x2|＜574．

Answer 1

证明：（1）∵f(1)＝a+b+c＝?

a

2

∴3a+2b+2c=0
又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）
又2c=-3a-2b  由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0∴?3＜

b

a

＜?

3

4

…（4分）
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）
①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且f(1)＝?

a

2

＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）
②当c≤0时，∵a＞0∴f(1)＝?

a

2

＜0且f(2)＝a?c＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．
综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）
（3）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点
则x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根
∴x1+x2＝?

b

a

，x1x2＝

c

a

＝?

3

2

?

b

a

…（12分）∴|x1?x2|＝

(x1+x2)2?4x1x2

＝

(? b a )2?4(? 3 2 ? b a )

＝

( b a +2)2+2

∵?3＜

b

a

＜?

3

4

∴

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