Question

已知平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ

已知平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．问：在x轴上是否存在点M，使得x轴平分∠AMB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2，
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离，
∴圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线，
∴轨迹C的方程为y²=8x；
（Ⅱ）设M（t，0），直线l：x=my+2，代入y²=8x可得y²-8my-16=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16
∵MQ平分∠AMB，
∴k_AM=-k_MB，
∴y₂（x₁-t）+y₁（x₂-t）=0，
∴y₂（my₁+2-t）+y₁（my₂+2-t）=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0，
∴2m?（-16）+（2-t）×8m=0，
∴2m（8-4t）=0，
∴t=2，即M（2，0），MQ平分∠AMB．