Question

在□ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；（2）

在□ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并说明理由．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）DF=CE．理由见解析.

试题分析：（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB= ∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证． （2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证． （1）∵在?ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°．（1分） ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC， ∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF． ∴2∠BAE+2∠ABF=180°． 即∠BAE+∠ABF=90°． ∴∠AMB=90°． ∴AE⊥BF． （2）线段DF与CE是相等关系，即DF=CE， ∵在?ABCD中，CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAB． 又∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB． ∴∠DEA=∠DAE． ∴DE=AD．（6分） 同理可得，CF=BC． 又∵在?ABCD中，AD=BC， ∴DE=CF． ∴DE-EF=CF-EF． 即DF=CE．