Question

如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为CD 的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。（1）判断四边形BC

如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为CD 的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，请说明理由；（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；（3）在（2）的条件下，若将“E为CD的中点”改为“CE=k·DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值。（用k的代数式表示）

Answer 1

解：（1）如图①， S四边形BCEF=S正方形ABCE-S△ABF-S△DEF =4 2 - ×4×a×2×（4一a）=12-a， ∵F为AD边上一点，且不与点D重合， ∴0≤a<4， ∴当点F与点A重合时，a=0，S四边形BCEF存在最大值12， S四边形BCEF不存在最小值；
（2）如图②，延长BC、FE交于点P， ∵正方形ABCD中，AD∥BC， ∴△DEF∽△CEP， ∵E为CD的中点， = =1，PF=2EF ∵∠BFE=∠FBC ∴PB=PF， ∴AF=a， ∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF= ， ∵Rt△DEF中，EF 2 =DE 2 +DF2， ∴（ ） 2 =2 2 +（4-a） 2 ， 整理，得3a 2 -16a+16=0， 解得a 1 = ，a 2 =4 ∵F点不与D点重合， ∴a=4不成立， ∴a= ，tan∠AFB= =3；
（3） tan∠AFB=2k+l。（K为正整数）